理性思维的边界(豆瓣理性的边界)

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本文节选自《理性的边界》电子版：

Z={…，加9，加罗加|，0，|，罗93，9自然数集合是集合Z的真子集，因为Z还包括负整数。我们如何在自然数集合N和同时包括正负自然数的集合Z之间建立对应关系呢?幸运的是，像康托尔这样极为聪明的人着手研究了这个问题，并且找到了一种简单的对应方式，如下表所示:N01轴227帮01=一23经17一7通过机智地将N分为偶数和奇数，我们可以让N的奇数对应2的正整数，而让N的偶数对应Z的负整数。由于我们永远无法人义奇数或偶数，于是2的每个元素都会得到配对。这正是我们在希尔伯特酒店里所做的事，我们给老客人组成的无限集合分配了偶数号房间，给新客人组成的无限集合分配了奇数扎房间。让我们看看一个真正巨大的集合吧。让我们思考由自然数有序对构成的集合NXN。它是数字对的集合，其中m

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和mn都是自然数。对于每个nm，都存在一个目然数集合N的拷贝，《“m,1>，《m,2>，《m,3>，…:因为mn"有无限多个，所以集合NXN有无限多个N的拷贝。整数集合2拥有N的两个拷贝，一个找贝是正的，一个捞贝是负的。相比之下，集合NXN有无限多个N的拷贝。我们的直党告诉我们，这个集合的元素数量比N多得多。我们的直觉是错误的!康托尔是一个非常聪明的人，他在N和NXN这两个集合之间也找到了对应方式。可以像下表这样表示这种对应方式:N01234NxN为了清楚地看出这和有如岁4.1所示。对应关系，可以将自然数看成一长列数字，0基]拓图4.1N是一条无限长的蛇按照图4.2的方式将NXN写出来，从左下角

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开始按照之字形路线将这些数字连接起来。由于这两个集合是无限集合，而我们只以我们无法将它们的对应关系全部展示出来。不过按照这和有一张面积有限的纸，所模式，每个有序自然数对，包括《303,1227>在内，最终都会与N中的某个自然数对应。出于显而易见的原因，这种证明有时称为之字形证明(zigzagproof)。总之，集合NXN与集合N等势，其势大0。5二950了<1]风机3全33二3md<3,和2本有风RS<,|IRON一上图4.2N和NXN之间的对应关系

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