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而万站再本%全:51十8.5一)||()|(2.79)OCBF3OC\\4G\\观察式(2.79)和式〈2.80)不难发现，矿和7M这两个统计量的表达式可以说是“完美对称”的。表中的第一项是OP/OC)2-1，它反映的仍然是两个全局最小方差组合的标准差偏离程度，由于OPD>OC，因此该项中用〈OPVOC)?减去1，再看FMM，它的第一项是1-(OCOD)2，它和OP/OC)2-1如出一轨，只不过因为分子、分母互换了位置导致(OC/OD)2<1，因此该项中是用1减去COC/OD):。再看两个统计量中的第二项。于的第二项涉及BFE和BF，它们都从点B出发，BFE是点B到全部MIK个资产的最小方差前沿的切线，BF是点B到K个因子的最小方差前沿的渐进线。(BEBBF)2-1则衡量了在K个因子的基础上加入N个资产导致切线斜率平方的提升。反观LM的第二项，它包括4G和4厅，它们都从点4出发，4G是点4到个因子的最小方差前治的切线、4万是点4到全部NHK个资产的最小方差前沿的渐进线。1-(4GL4PDD)2则衡量了从AHK个资产中去除N个资产〈从而仅剩下K个因子)导致切线斜率平方的降低。这种“对称”玉显了几何解释之美、数学之美。2.S.4wo检验前文介绍的GRS检验和均值一方差张成检验均是联合检验N个资产的定价误差是否显著侦离零。与它们不同，本节的o检验把每个资产;的wx独立看待，检验其是否为零。在得到所有w的检验结果后，将它们取平均并以此评价多因子模型。x检验实操起来非常简单。对每个用来检验多因子模型的资产〈可以是测试资产或其他模型的因子)，将其超额收益作为被解释变量，使用待检验的多因子模型作为解释变量，进行时序回归，估计其定价误差sa以及ea的标准误〈计算标准误时通常会采用Newey-West调整)。有了aa和和它的标准误，计算#-值=asyselaj。在原假设下，多因子模型可以解释这些资产，因此arF=0。在得到全部N个资产的w和太值之后，将它们的绝对值取平均作为评价多因子模型的依

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据。取绝对值的原因是，此处只关心定价误差相对于0的偏离程度，而非其方向。因此，o检验关注的两个评价指标就是ae的均值以及|*值的均值。a检验在多因子模型的比较中应用非常广泛。最常见的做法是使用同一组测试资产来检验不同的多因子模型，并以上述指标偏离零的程度来评价多因子模型的“好”与“差”。这两个指标越低，说明一个多因子模型越能够解释这些资产，而是“更好”的模型。在实证资产定价研究中，应用cx检验来比较模型的例子数不胜数，Houetal.(201$)和FamaandFrench(2020)就是其中的代表。最后值得一提的是，w检验经常和GRS检验同时使用。在本书第4章介绍多因子模型时，也将同时使用这两种检验方法进行实证分析。2.S.S”贝叶斯方法由BarillasandShanken〈2018)提出的贝叶斯方法四也常被用于多因子模型的比较。该文作者是计量经济学大伐，且又发表于金融学顶刊Joxyrmzalofprazce，因而备受关注。考察多因子模型:玉:一Qa二ON+gi令于cov〈8)，如果原假设ac=0成立，那么预期收益率就满足及[Re]=P1。BarillasandShanken〈2018)提出的贝叶斯方法假设多因子模型的参数6和允莫足特定的非正党先验分布〈improperprior)回。而对于参数wx，它在原假设下为零，在备择假设下满足多元正态条件分布/(ol8,二)=(0,三)〈>0是一个参数)。在该方法中，因子收益率和资产收益率为观测到的数据。有了参数和数据，BarillasandShanken(2018)通过计算边际似然度(marginallikelihood)来比较不同的多因子模型。令D代表数据、M;代表第;个模型，则边际似然函数为:prob(DIA)=引JUDIMia,p,Jalp,中(8,D)dadpdD(2.81)由定义可知，边际似然度是在给定模型MA下，观察到数据刀的条件概率。在贝叶斯模型比较中，不同模型的后验概率比与它密切相关。假设两个多因子模型1和

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Mr，则它们的后验概率之比满足:prob(A人4;了p)prob(A4)prob(万|人1)prob(A4j|D)prob(wf)prob(D|人1)(2.82)式中，等号右侧第一项是两个模型先验概率之比;而第二项就是它们的边际似然度之比，它又被称为贝叶斯因子(Bayes包ctor)。在多因子模型比较中，通常假设两个模型的先验概率一样，因此边际似然度的高低就会最终主宰模型的选择。上述描述虽然简要，但它就是BarillasandShanken(2018)一文的核心。利用该方法，StambaughandYuan(2017)比较了他们提出的四因子模型和FamaandFrench(201$)五因子模型以及Houetal.〈201$)四因子模型。该文是将贝叶斯方法用于多因子模型比较的代表性研究之一。相较于GRS检验或均值一方差张成检验来说，贝叶斯方法在学术界的使用要少一些。这一方面和它被发表的时间较短有关回，另一方面该方法也存在一些被质疑的地方。2020年，贝叶斯统计学的大佬SiddharthaChib同样在.Joxrzaljo厅pazce发文对BarillasandShanken〈2018)的方法提出了挑战〈Chibetal.2020)上四。该文直截了当地认为BarillasandShanken(2018)的方法有误，并给出了改进方法。Chibetal.〈2020)指出上述贝叶斯方法中参数的先验设定存在问题。简单地说，在具体使用时，在参当9和2所满足的非正常先验分布中需要确定一个常数的取值。而只有当所有符比较的多因了重型满足以下三个性质时，采用边际似然度来挑选模型才是合理的。这三个条件是:〈1)不<辣模型的参数8有有吕(下标;代表模型六满足同样的非正常先验分布，(2)该分布中的常数对所有模型相同;(3)不同模型的参数空间一样。Chibetal.〈2020)进一步指出Barillas”andShanken(2018)的模型并不满足上述三个条件，因此使用〈2.82)来比较模型是

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