因子投资方法(因子投资量化系统)

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本文节选自《因子投资方法》

2.S.2”均值一方差张成检验HubermanandKandel(1987)提出的均值一方差张成(mean-_variancespanmning)检验是另一种常见的联合检验手段。从名字就不难看出来，这种方法和Markowitz〈19$2)提出的现代投资组合理论(ModernPortfolioTheory)以及均值-方差分析有着紧密的联系。KanandZhou(2012)对均值二方差张成检验进行了系统而全面的介绍。这种方法的核心无疑是“张成〈spanmning)”两个字。假如市场中有天个因子投资组合，通过按各种不同的权重配置它们又能得到许多新的组合。对于每个给定的预期收益率上，都能找到这开个资产的唯一一种配置权重，使得该组合是所有预期收益率等于总的组合中方差最低的，这个特殊的投资组合就是预期收益率为zz的最小方差组合。把不同关的最小方差组合都绘制在横坐标为标准差、纵坐标为预期收益的二维平面内，就得到了最小方差前治〈minimumvariancefontier)，它的形状是一个抛物线，如图2.8所示。由五个因子张成的最小方差前治图2.8”最小方差前沿图2.8中的最小方差前沿就是由这玉个因子张成的〈spanmned)，这就是这种方法得名的原因。而这种检验所关注的问题是，加入N个新的《来检验该模型的)资产后，这全部MIK个资产张成的新的最小方差前沿能否“优于”仅由K个因子张成的最小方差前沿。这里,“优于”意味着对于每一个给定的上5，NIK个资产张成的前沿直遇各不必了亲民四前少一因是有时避站全可这就是均值一方差张成检验下允生粹。下面来看看数学上的这种检验的原假设是什么。令Ra-=m

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m代表1期MK个资产的收益率癌量，其中Ri和Rz分别为KE个因了于和N个资产的收益率向量。接下来，定义这NMIK个资产的预期收益率和收益率的协方差矩阵;=BR=(2.69)Y2Y22YiYa1L2阅=cor(R)=|由多因子模型可知:R2FcHPRIirH8(2.70)利用4和7可以求出xc=0-p以及6-von接下来，定义6=lrplx(其中1和lx分别为NM和天阶元素全是1的向量)。由此，HubermanandKandel(1987)给出了均值一方差张成检验的原假设的充要条件:石0:co一0x，0=Ov(2.71)式中，0xw表示WN维零向量。当原假设式〈2.71)成立时，对于任何一个用来检验的资产〈或这些资产的组合)，总能使用原始的K个因子来构建一个投资组合，并使得该投资组合的预期收益率和测试资产的预期收益率相同，但方差更低。其中前者由o=0w和6=0vw〈即81二1w)保证;而后者由式〈2.70)中Ry和8不相关，且var〈8&)>0保证。这两条关于预期收益率和方差的性质说明，这N个资产无法在开的基础上张成更优的最小方差前沿，因此可以接受原假设。除了上述数学含义外，从由全部MK个资产张成的最小方差前沿上也能够找到上述原概设的直观解释，KanandZhou(2012)指出，在这个最小方卷前沿上存在两个特殊的投资组合。其一是全局最小方差组合〈globalminimumvarianceportfolio)，其二是从均值一方差二维平面的原点(2=05=0)回最小方差前沿做切线的切点。如果原假设成芯，则条件6=0wi意味着全局最小方差投资组合中，N个资产的权重都是零，即该组

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合完全由有个因子构成。类似的，条件x=0,意味着切点投资组合中N个资产的权重都是零，因此该组合同样完全由K个因子构成。换句话说，这两个特殊的投资组合均仅仅由天个因子构成，而N个资产对它们没有任何贡献。另外，在投资组合理论中，有一个重要的定理叫作“两基金分离定理”(two-foundseparationtheorem)。它的含义是，使用最小方差前沿上的任意两个组合就能构造出整个前沿，即前沿上的其他组合都可以由这两个投资组合的某种线性组合得到〈Merton1972。根据“两基金分离定理\"”，如果这两个投资组合中均不包含N个测试资产，那么整个由MK个资产构成的最小方差前沿上的所有投资组合都不包含这N个资产，这便解释了为什么co=0w和6=0w是原假设成立的充要条件。虽然以上直观地解释了均值一方差张成检验要于什么以及它的原假设是什么，但为了进行检验，还是要用到具体的统计检验量的。在这方面，HubermanandKandel(1987)一文最早提出了似然比《〈likelihoodratio)检验统计量。而KanandZhou(2012)又通过Wald检验和拉格朗日滋数(Lagrangemultiplier)检验构建了古人全的和这三个检验统计量在大样本下都渐进满足自由度为2N的妇2分这三个统计量的表达式十分接近，且均和两个重要参数wy和有关。关于这两个参数，KanandZhou(2012)给出了一个非常直观的经济学解释。为了介绍它，首先需要一些铺垫。考虑图2.9所示的均值一方差平面中由K个因子张成前最小广差前沿。在纵轴上取〈0,7r)点并从它辐最小方差前治做切线，找到切点组合,sa

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