【有书】计算之魂吴军在哪看(计算之魂概述)

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/第5章//工具与算法一一图论及应用//|字|生于村和让人~本人es1国[|机上]|ed|ee|21|C1CC图5.15两个字符串编辑距离最小的对应方式TeTTTelnilani在一张有向的网格图中，从左下角(相当于对应于坐标系的原点)到右上角的路径数是拼写长度的指数函数，具体讲是我们前面讲过的卡特兰数。因此从中挑选一个最短的路径并非易事。所幸的是，有一种动态规划的算法，可以将这个指数复杂度的问题变成线性复杂度的问题。为了让算法具有普遍性，我们用一个普通的有向图G=(玉Bosj)来说明，如图5.16所示。同时为了简单起见，我们假定有向边的权重都是正实数。图5.16一张具有权重的有向图如果我们要寻找从起点$到终点E的最短路径，不妨先倒过来想这个问题:假定已经找到了最短路径，即图中虚线和双线构成的路径，我们称之为路径1，如果它经过Y节点，那么在这条路径上，从S$到Y的部分，也就是虚线的子路径PS,7)，必然是所有从S到Y路径中最短的。为什么这么说呢?因为假定还存在从S到Y更短的路径比如图中点画线的那条子路径Q(S,7)，那么只要用子路径Q代替了，就可以和原来路径中

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的剩余部分R(YB)形成一条从$到E经过Y更短的路径，我们称之为路径2。这就和我们讲的路径1是S到E经过Y的最短路径相矛盾了。了矛盾的根源在于，我们所假设的子路径Q比子路径P短是错误的。185//计算之魂于最短路径有这样的性质，我们就可以将一个“寻找全程最短路径”的问题，分解成一个个寻找局部最短路径的小问题，然后用递归的方式加以解决。比如要寻找从S到Y的最短路径，我们可以假定从$到YY上一级的节点X1、X2和X3的最短路径已经找到了，它们是P(S,XU)、P(S,X2)和P(S,X1)，对应的长度是LI、L2和L3。然后比较一下这三个数值:LI+10、L2+7和L3+7，看看哪一个最小。最小的那个就指示出从S到Y的最短路径。具体到路径最短。至于从起点到节点XI1、X2和X3的最短路径，也可以用上述方法递归算法5.1动态规划(Dijkstra算法)得到。有了这个递归算法，我们可以一层层地从终点E往起点$倒推，就能找到从S到了的最短路径。当然在计算机工程中，我们会把这个算法倒过来实现，恒5.16，显然是经过XI到Y的体描述如下。步又1，先算出起点S到与它相邻的所有

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节点的最短路径，也就;是从S到这些节点的距离。然后把这些节点连同s放到一个集合中，我们称之为厂(有些书中也把超点放在单独的一个集合矶中)。步骤2，拷到从万能够直接到达的节点，算出从s到那些节点的最短距离，然后把新的一批节点，连同原来广中的节点，放到新的集合太中。步又3，用类似的方法得到和节点集合太相邻的各个节点的最短路径，然后形成新直到起点S到终点E的最短路径被找到为止。上述算法被称为Dijkstra算法，它的正确性有严格的证明。该算法是由荷兰科学家埃格斯格"迪克斯特拉(EdsgerW，Dijksta，又译作艾效格。迪科斯彻)在1956年提出的，当时他只有26岁。1972年，迪克斯特拉因此获得了在于，它将原本的一个指数复杂度的问题，变成了一个平方复杂度的问题，因的复杂度只有OU4HH印，其中|也是图中节点的数目图灵奖。Dijkstra算法了不起的地方为该算法，因是图中边的数目。比如，前面计算两个拼写的编辑距离的例子，采用Dijkstra算法也就是百十来次的运算，而如果采用枚举各种路径的方法，需要运算上亿次。Dijkstra算法的伪代码参见本章的附录三。186

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综上：计算之魂概述值得推荐阅读。