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本文节选自《计算之魂吴军》电子版：

/第5章//工具与算法一一图论及应用//我们不妨分析一下上述三种操作的本质是什么。我们来看一下S一B一E一T这条路径，它三条边的流量原来是0、-4和5。为什么流量会有负数呢?因为从E到了B的流量是4，就意味着反方向从B到了的流量是-4。这条路径上各条边的流量调整后变成了2、0和9，比原来分别增加了2、4和4。因此我们可以认为，S$一B一人一T这条路径整体的流量增加了2。当然，这样无法解释为什么从B到下、从E到T的流量增加是4，不用担心，我们还有一条流量增加的路径尚未分享。我们从图$.22中可以看到S一C一B一E一T这条路径上每条边的流量也在增加，分别增加了2、2、4、4。我们可以认为这条路径的整体流量也增加了2。由于上述两条路径在B和了之间是重去的，因此从B到E的流量增加了4。由此可见，调整流量的本质就是找到一条从$到T流量尚未饱和的路径，然后增加它上面每一条边的流量(当然减少某条边上反方向的流量也等同于增加这条边的流量)。这条流量可以增加的路径，被称为增广路径(AugmentingPath)。可以证明，只要从S到T的流量还没有达到最小切割流量，就能不断找到增广路径，直到流量;到这个值为止。图5.2

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3给出了流量调整结束后，从S到T的流量达到最大流的情况。值得指出的是，B和之间的边原来流量的走向是从E到B，现在反了过来，也就是说其流量从-4变为了+4。同时我们可以看出，在最小切割线L2上的边的流量都饱和了，因此这个有向连通图的流量也不可能再增加了。图5.23从S到工的流量达到最大流的情况195//计算之魂//上述算法被称为福特-富尔克森算法(Ford-FulkersonAlgorithm)，它是由莱斯特。福特(LesterRandolphFord工)和德尔伯特。富尔克森(DelbertRayFulkerson)于1956年提出来的，该算法的伪代码参见本章的附录四。福特-富尔克森算法比较直观、好理解，当网络中各条边的容量相近时，这种方法很有效，试不了几次就能达到最大流，这是它的优点。但是如果网络中各条边的容量差好几个数量级，福特-富尔克森算法收敛得很慢。最糟糕的情况是，如果容量最小的边的容量只有1，而容量最大的边的容量达到玉，那么整个算法的复杂会和环成正比，即O(引.玉，其中三是边的总数，而环需要是一个整数。如果忆是浮点数，虽然福特-富尔克森算法稍作调整也能使用，但是收敛会非常慢。为了解决这个问题

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，叶菲姆，迪尼芒(YefitmDinitz)、埃德蒙将和卡普在20世纪70年代基于福特-富尔克森算法，提出了改进的埃德蒙兹-卡普(Edmonds-Karp)算法，其复杂度为O(玫IE门，其中和是节点总数。这个算法的复杂度和通道中各条边的容量无关，这是它的优点。不过，对于一个复杂的网络来讲，埃德蒙兹-卡普法的复杂度其实不低。现实生活中的最大流问题要比上述理论问题更为复杂。比如像Google这样的全球数据公司，世界各地的数据中心之间，网络流量应该怎么分配就是一个非常难的工程问题。2002年，我入职Google时，和我同一天入职的一名博士得到的任务，就是优化各个数据中心之间的流量分配。他本以为有个半年时间就能够完成，结果一做就是四五年，越做发现这里面的问题越多，也比想象的复杂，这个项目也从他一个人的短期任务变成了一个团队的长期工作。那里面有很多问题教科书上从来没有给过答案，甚至在云计算诞生之前也没有人知道那些问题的存在。比如下面四个问题完全是开放式的，之前不仅没有答案，甚至没有人遇到过。1，优化网络流量的多重标准。在前面的讲述中，最大流其实只有一个确定的量化标准，也就是单位时间里从1ErFE环196

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