模型思维万维钢 pdf(模型思维 pdf 百度云)

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本文节选自《模型思维万维钢 pdf》

小部分随机变量页献了大部分变差，那N之20个随机变量的和就近似一个正态分布。:中心极限定理一个非常重要的特征是，随机变量本身不一定是正态分布的。它们可以有任何分布，只要每一个随机变量都具有有限的方差，并且它们中的任何一小部分随机变量都不贡献大部分方差。假设，在一个500人的小城镇中，人们的购买行为数据显示，每个人平均每个星期花费100美元。在这些人中，可能有些人这个星期上只花50美元、下个星期则花150美元，另一部分人可能每3个星期花费300美元。而其他人则可能每个星期的花费在20至180美元之间。只要每个人的支出都只有有限的变差并且没有任何一小部分人贡献了大部分变差，那么分布的总和必定是一个正态分布，其均值为50000美元。每个星期的总支出也将是对称的:可能高于55000美元，也可能低于45000美元。根据同样的逻辑，人们购买的香花、午奶以及炸玉米饼的数量也都是正态分布的。我们还可以应用中心极限定理来解释人类身高的正态分布。一个人的号高取决于基因、环境以及两者之间的相互作用。基因的贡献率可能高达80%，因此不妨假设身高只取决于基因。研究表明，至少180个基因有助于人体长高。:例如，一个基因可能有助于长出较长的颈部或头部，另一个基因可能有助于长出更长的既骨。虽然基因之间存在相互作用，但我们可以假设在“长高”这件事情上，每个基因都是相互独立的。如果身高等于180个基因贡献的总和，那么身高将呈现正态分布。相同的逻辑可以证明，狼的体重和大熊猫的拇指长度也是如此。功能:应用分布知识我们对正态分布的第一个应用将揭示:为什么罕见结果在规模小的群体中更常见，为什么最好的学校往往规模较小，为什么瘤证发病率最高的郡上共人口较少。回想一下，在一个正态分布路

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，95%的结果位于两个标准偏差内，99%的结果位于三个标准偏差内，根据中心极限定理，一组独立随机变量的均值将是正态分布的〈当然方差要满足前述要求)。由此可见，我们可以非常确信:考试分数的总体平均值也将是正态分布的。然而，随机变量平均值的标准差并不等于变量标准差的平均值，而且总和的标准差也不等于标准差的总和。相反，这些关系取决于总体大小的平方根。平方根法则(Thesquarerootrules)N个相互独立的随机变量，都具有标准差c，Re的值的标准差o，和对这些随机变量总和的标准差az，分别由以下公式给出:体好二一一一or=aVN均值的标准差公式表明，大的总体的标准差要比小的总体的标准差低得多。由此可以推断，在小的群体中应该会观察到更多的好事和更多的坏事。事实上我们确实观察到了:最安全的居住地是小城镇，但最不安全的地方也是小城镇;肥胖率和癌症发病率最高的那些郡县的人口较少。这些事实都可以通过标准差的差异来解释。如果不考虑样本量，直接根据离群值异常值)推断因果关系可能会导致相当糟糕的政策行为。出自这个原因，美国统计学家霍华德魏纳(HowardWainer)将均值标准差公式称为“世界上最危险的方程式”。例如，在20世纪90年代，盖茨基金会和其他一些非营利机构以“最好的学校都是小学校”为依据，倡导将大学校分拆为小学校。*为了揭示这种推理的逻辑缺聊，试想一下，现在有两所学校，一所是只有100名学生的小学校，另一所是有1“600名学生的大学校，并假设这两所学校学生的成绩均来自相同的分布，平均分为100，标准差为80。在小学校中，平均值的标准差等于8，即学生成绩的标准差80除以学生人数的平方根10。而在大学校中，平均值的标准差则等于2。如果以平均分为

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标准，把那些平均成绩在110以上的学校称为“优秀”，把平均成绩在120以上的学校称为“非常优秀”，那么将只有小学校才有可能达到这个标准。对于小学校而言，平均成绩为110时，只比总体均值高出了1.25个标准差，这类事件发生的概率大约为10%。而平均成绩为120时，则比总体均值高出了2.5个标准差，这类事件大约150所学校发生一次。对大学校进行相同的计算时，我们却会发现“优秀”阀值意味着比均值高5个标准差，而“非常优秀”益值则比均值高10个标准差!实际上这类事件永远不会发生。因此，最好的那些学校普遍规模较小这个“事实”并不能证明小学校的表现更好。即便学校规模本身完全没有影响，“最好的学校都很小”这种事情也会发生，因为平方根法则会起作用。检验显著性我们还可以利用正态分布的规律来检验各种平均值的显著性差异。如果经验均值与假设均值之间的偏差了超过两个标准差，那么社会科学家就会拒绝这两种均值相同的假设。5现在提出这样一个假设，即巴尔的摩的通勤时间与洛杉矶的通勤时间相同。假设数据表明，巴尔的摩的通勤时间平均为33分钟，而洛杉矶为34分钟。如果这两个数据集的均值标准差都是1分钟，那么我们就不能拒绝巴尔的摩和洛杉矶两地通勤时间相同的假设。虽然二者的均值不同，但只存在1个标准差。如果洛杉矶的平均通勤时间为37分钟，那么我们就会拒绝这个假设，因为均值之间相差4个标准偏差。但是，物理学家可能不会拒绝这样的假设，至少当数据来自物理实验时不会。物理学家采用更严格的标准，因为他们拥有更大的数据集(原子的数量远远超过了人的数量)，数据也更“干次”。物理学家在2012年证明希格斯玻色子(Higgsboson)存在时所依据的证据，在700万次试验中随机出现不到一次。

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