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本文节选自《暗时间》电子版：

一，哥德尔定理其实就说明了无论你给出多少个公理，即无论你建多么完备的公理体系，这个系统里面都有由你的那些公理出发所推不到的地方，这些黑蜡的角落，就是人关掉觉之光直能照身到的地方!1本节我们从对角线方法证明了图灵的停机问题，我们看到，对角线方法能够揭示出某种自指结构，从而构造出一个“悖论图灵机”。实际上，对角线方法是一和有深远影响的方法，可德尔的证明其实记是这个方法的一则应用。证明与上面的停机问题证明如出一统，只不过把Wi换成了一个形式系统内的公式fi，具体的证明就留给聪明的你吧:)我们现在来简单的看一下这个奇妙方法的几个不那么明显的推论。罗素悖论学过逻辑的人大约肯定是知道著名的罗素悖论的，罗素悖论用数学的形式来描述就是:R={:X不属于X}这个悖论最初是从康托尔的无穷集合论里面引申出来的。当初康托尔在思考无穷集合的时候发现可以称“一切集合的集合”，这样一个集合由于它本身也是一个集合，所以它就属于它目身。也

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就是说，我们现在可以称世界上存在一类属于目己的集合，除此之外当然就是不属于目己的集合了。而我们把所有不属于上自己的集合收集起来做成一个集合R，这就是上面这个音名的罗素悖论了。我们来看R是否属于R，如果R属于R，根据R的定义，R就不应该属于R。而如果R不属于R，则再次根据R的定义，R就应该属于R。个悖论促使了集合论的公理化。后来策梅罗公理化的集合论而就不允许X局于X《不过可异的是，尽管如此还是没法证明这样的集合论不可能产生出新的迟论。而且永远没法证明一一这就是哥德尔第二不完备性定理的结论一一一个包含了PA的形式化公理系统永远无法在内部证明其自身的一致〈无矛盾)性。从而希尔伯特想从元数学推出所有数学系统的一致性的企图也就失败了，因为元数学的一入入得由元元数学来证明，后者的一致性又得由元元元数学来证明…这我们只关心罗素是如何想出这个绝妙的迟论的。还是对角线方法!我们罗列出所有的集合，S$1,S2,S3，5925

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9…右侧纵问列出所有人集合，项行横癌列出所有集合。0/1和矩阵的(i,j)处的元素表示$Si是否包含Sj，记为Si(j)。现在我们只需构造一个新的0/1序列L，全位与征阵的人i)处的值恰恰相反:LG)=1-Si(i)。我们看到，这个新的序列其实对应了一个集合，不妨也记为L，L(G)表示是和外含Si。根据L的定义，如果和窍阵的i)处值为人全如果Si不包含Si)，那么L这个集合就包含Si,否则就不。我们注意到这个新的集合L肯定等于某个Sk《〈因为我们已经列出了L=Sk。既然L与Sk是同一集合，那么它们肯定包含同样的元素，从而对于任意nan，有LGn)=Sk(n)。于是通过令n=k，人得到L(k)=Sk(k)，而根据L的定义，L(k)=1-Sk(k)。这就有Sk(k)=1-Sk(k)，政盾。通过抽象简化以上过程，我们看到，我们构造的[其实是“包含了所有不包含它目身的集合的集合”，用数学的描述正是罗素悖论!

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