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可能的子集(通常称为联盟)分配一个值。合作博弈的目标是刻画集体工作和联合项目。在合作博弈模型中，假设人们都会人参与，以便我们可以专注于讨论如何为他们的参与分配价值。合作博弈合作博弈由N个博弈参与者和一个价值闸数组成。这个价值遂数为任何子集SSN分配一个值Y($)赋值。这些椰集称为联盟。没有博弈参与者组成的联盟的价值等3零,即所8)=0。所有N个博弈参与者的价值YGN)等于博弈的总价值。在合作博弈中，一个博弈参与者的“最后上车者价值”等于当他是最后一个加入团队的人时，他所能增加的价值。“最后上车者价值”刻画了边际博弈参与者的价值。如果雇用4个人来搬运一张桌子，假设搬运这张桌子产生的价值为10，并且要4个人一起动手才搬得动，那么每个人的“最后上车者价值”均为10。如果只需要三个人就可以搬动这张桌子，那么每个人的“最后上车者价值”均为零。这里需要注意的是，“最后上车者价值”不一定是博弈的总价值相加。特别是，如果价值函数表现出了规模收益递减的性质，那么“最后上车者价值”的总和将小于博弈的总价值;如果增加的价值表现出了规模收益递增的性质，那么“最后上车者价值”的总和将超过博弈的总价值。一个博弈参与者的夏普利值，等于他在所有可能加入的联盟的次序下对联盟边际贡献的平均值。换句话说，我们要在想象中按顺序将博弈参与者加入联盟中并计算每个博弈参与者为每个序列增加的价值。例如，考虑一家同时在西班牙和法国运营的小公司，它至少需要一位会讲法语的人和一位会讲西班牙语的人开展日常业务。假设该公司有三名员工:一名会讲西班牙语的人、一名会讲法语的人和一名既会讲法语又会讲西班牙语的双语人士。现在假设，这个合

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作博弈为任何一位能讲法语和西班牙语的人分配了1200美元的价值。如果该公司能够运营，这个金额就等于公司每日的收入。如果任何两名员工来上班了，那么第三名员工就不是必需的。因此，在这个例子中，每个博弈参与者的“最后上车者价值”为零。为了计算只会讲法语的那个人的夏普利值，我们要考虑这三个人来上班的所有6种可能的次序。在这6种次序中，只有在一种情况下，也就是只会讲西班牙语的人第一个到，然后这个只会讲法语的人第二个到时，这个只会讲法语的人才增加了价值。因此，这个只会讲法语的人的夏普利值就等于1/6乘以1200美元，即200美元。与此类似，只会讲西班牙语的那个人只有当他第二个到且只会讲法语的那个人第一个到时，才能增加价值，因此他的夏普利值也等于200美元。而在其他四个次序中，既会讲法语又会讲西班牙语的人第一个到或者第二个到都能增加价值，因此，他的夏普利值等于800美元。所有这三个人的夏普利值总和等于1200美元，也就是这个博弈的总价值。夏普利值给定合作博弈人，Yj}，夏普利值的定义如下:N个博秦参与者加入联盟的次序有N!个，让0代表这所有N!个次序。对于0中的每一个次序，将博弈参与者ji增加的价值定义为当博弈参与者i加入时价值六数发生的变化。博弈参与者i的夏普利值等于他在0中所有次序上增加价值的平均值。在了解了上述基本概念的基础上，现在可以构建一个更加复杂的例子了。想象一下，在赛艇比赛中，一个团队通常由四名浆手和一名舵手(舵手通常个子较小，控制划浆节奏和方向)组成。现在想组建一支赛刻队，就需要找到六名赛艇运动员，也就是合作博弈中的博弈参与者:五名高大强壮的浆手和一名舵手。在参加比赛的

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时候，四名浆手和一名衣手上场的团队价值为10;或者由五名浆手上场，但由于重量过重，整个团队表现不佳，这样的团队价值为2。为了计算出夏普利值，假设这些博弈参与者以各种可能的顺序加入。如果舵手以第一、第二、第三或第四位的次序加入，那么他不会增加任何价值;当他以第五位的次序加入时，他增加的价值为10，这种情况出现的概率为1/6;如果他以第六位的次序加入，那么他将取代一位桨手，所增加的价值为8。将所有这些情况平均，可以发现舵手的夏普利值等于3。而对于任何一个浆手来说，当且仅当他以第五位的次序加入时，才能增加价值，这种情况发生的概率为1/6。如果舵手没有加入，那么以第五位加入的浆手所增加的价值为2。如果通手已经加入，那么以第五位加入的浆手所增加的价值为10。由于舵手最后一位加入的机会是1/5，同时舵手在前四位加入的机会是4/5，因此可以求出每一个浆手的夏普利值为7/15。-从直观上就可以看出，舵手的价值应该超过单个桨手的价值，同时考虑到浆手可以在没有舵手的情况下参加比赛〈尽管成绩会“很差”)，因此舵手的价值应该比所有浆手的总价值低。有无数种方法都可以在满足上面这两个约束的前提下分配价值，夏普利值只是给出了其中一个特定的分配方案:给舵手分配3，给所有浆手分配7。夏普利值的公理基础我们现在讲述夏普利值唯一满足的公理，这也就解释了为什么要优先考虑夏普利值而不是其他。第一，我们是通过对所有可能次序中博弈参与者的边际贡献来计算夏普利值的，因此任何永远不能增加价值的博弈参与者的夏普利值都为零。第二，对任何两个相同的博弈参与者，即对每个联盟贡献相同的任两个博弈参与者，也必须分配给他们相同的夏

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