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高斯提出了一种方法，用于评估单个误兰对总体误兰的影响。他在测量总体误差时，使用的是“均方误差”(MeanSquaredError，MSE)，即个体误差平方的平均值。详细探讨高斯对总体误兰的测量超出了本书的讨论范畴，而且他的解决方案并非直观易懂。为什么用均方呢?这是一个听起来有些奇怪的概念，但它建立在我们几乎所有的直觉为了和弄明白其中的原因，让我们来看一个看上去似乎完全不同但其实本质相同的问题。想象一下，你用一把尺子来测量一条线段的长度，要求精确到毫米，并且你可以测量5次。测量结果分别用图5-3中指问下方的三角季头表示。970971972973974975976977978979980(毫米)图5-3对同一线段长度的5次测量结果正如你看到的，5次测量结果都在971一980暑米这一范围内。那，哪一个是对这条线段的最精确测量呢?一个可能是中位数，即两个最短的测量

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结束和两个最长的汕量结果之间的那个测量结果，在本例中为973毫米。另一种可能是算术平均值，通常被称为平均值，在本例中为975毫米《〈图5-3中指向上方的三角箭头)。你可能倾向于认为平均值更为精确，你的直党是对的。下均值包含更多信息它受测量次数的影响，而中位数只受顺序的影啊。我们对实现最佳评估这一问题有很清晰的直觉，它与我们关注的对总体误差的测量关系紧密。它们实际上是同一个问题页的两面，因为最佳评佑能够使当前训量的总体误兰最小化。因此，如果你攒直和党认为平均值是最佳测量结果，并且你的直沉没有错的话，那么用于训量总体误状的公式应该能够产生算术平均值，因为算术平均值的误差是最小的。均方误差就具有这样的特征，它是唯一能够对总体误差进行测量的概念。在图5-4中，我们假定线段的真实长度有10个可能的整数值，进而计算5次测量的均方误差。例如，如果真实值是971毫米，那么

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5次测量的误差就分别是0(、1、2、8和9。这些误差的平方之和为150，均方为30。这是一个很大的数值，表明一些测量值离真实值很远。你会看到，当测量值接近975(〈平均值)时，均方误差会下降。随着测量人远离平均值，均方误差又会逐渐增加。可见，平均值是最佳评估结果，因为在这种情况下总体误差最小。39303023231818151415971972973974975976977978979980(毫米)图5-410个可能的真实值对应的均方误差你还会发现，当你的评估值远离平均值时，总体误差会迅速增加。例如，当你的评估值仅仅增加3毫米，如从976变化到979，均方误关就会翻倍。这是均方误兰的关键特征:相比于小的误着，平方给大的误关赋予了更大的权现在你应该明日了为什么高斯用于测量总体误兰的公式被称为均方误着计算公式，以及这种评估方法为什么被称为最小平方法。对误

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