康德理性的边界(理性的边界中信)

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本文节选自《理性的边界》电子版：

8.正则公(axiomofregularity，又称axiomoffoundation，基础公理)集合不存在无限回归，即一个集合只包含一个集合，后者又只包含一个集合，后者还是只包含一个集合……用专业术语来说，每个非空集合X都包含一个元素Y，令X和Y不是同一个集合。在此必须提出一个有趣的哲学问题。策梅洛-弗兰死尔集合论认为东些特定的集合是不合法的，不允许我们讨论或接受它们。我们只能将东些特定的合集当作集合，不允许将其他合集当作集合。这是否意味着其他合集不存在呢?它们不是集合了吗?没错，避开交盾是好的，我们也喜欢这样没有错误的体系，但是我们对事物的真实存在还持有真减的态度吗?我们是不是将婴儿和洗谍水一起倒折了呢?关于策梅洛-弗兰克尔集合论，令人赞叹的事实是，现代数学的绝大部分都可以用集合和这些简单的公理推导出来。在一部规模浩大的数学百科全书中，我们会找到下列观察报告:“现如今，从过辑学的角度看，目前的数学几乎全部产目这样一个单一来源:集合论。”外换句话说，数学的大多数内容都可以看作是建立在这些公理的基础上。有目前活跃的大部分数学家通常不会思考这些公理，他们也不关心自己的工作是人

理性的边界人类

否能置于有梅洛-弗兰克尔合论的语卉之下。然而只要付出足够的努力，就能用俩梅洛-弗兰克尔集合论的语言陈述他们的工作。从它们这样重要的地位来看，策梅洛-弗兰死尔集合论的公可以极看作是所有数学的公理，因此也正是理性本屿的公显而易见的问题是，策梅洛-弗兰克尔集合论是否前后一致y毕竟，在集合论中应用公的原因之一承是确保我们避开像罗素悖论那样的问题和其他了矛盾。如果能够知道从这些公理中就太令人欣慰了。在一致性方面，有好消息也有坏消息。好消乱梅洛-弗兰克尔集合论已经出现了大约一个世纪，目前还还没有人失上出任何矛盾。将来似乎也没有人能推导出矛盾。坏消息是，著名的于如人全机德尔不完备定理《我们将在第9章第4人和中详细介绍该定理)的论之一就是策梅洛-弗兰死尔集合论的一致性无法在普通数学中证明。因此我们不能完全确定条梅洛-弗兰克尔集合论以及以它为基础的所有现代数学是一致的。宇让我们看看使用策梅洛-弗兰克尔集合论能够证明什么，不能证明什么。在本章中，我们指出有很多集合与自然数集合N等势。在中，我们指出有许多集合与集合(0，1)等势，而且这些集合严格意义上比N大。一个显而易见的问题出现了:是否存在大

理性思维的边界

小介于N和(0,1)之间的集合?也就是说，是否存在某个无限集合3$，令N严格意义上小于$，而S严格意义上小于〈0,1)?我们真正要问的是，是人否存在任何介于0N和20X之间的东西?这是一个非常简洁的问题。我们只想知道是否存在某个大小特定的集合。我们甚至不关心这个集合的元素是什么。我们唯一在乎的是这个集合的大小。康托尔在19世纪80年代首次提出了这个问题。他相信这个问题的答案是“人否”，并提出了下面这个“连续统假设”(continuumhypothesis):不存在大小严格位于N和〈0,1)之间的集合。尽管付出了许多努力，康托尔也没能证明这个猜测。1900年，大卫。布尔伯特发表了一场著名的演讲，并在演讲中列出了20世纪面临的23个有待解决的难题。连续统假设是第一个。1940年，库尔特。哥德尔〈1906一1978)证明了【假设策梅洛-弗兰克尔集合论是一致的)连续统假设与策梅洛-弗兰克尔集合论的公理相容。这意味着再增加一条声称连续统假设为真的公理，也无法从策梅洛-弗兰克尔集合论的公理中推导出矛盾。换种说法，存在某种对这些公理的理解方式，令连续统假设为真，即不存在中间大小的集合。