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的圆形。而在比萨证明中，无穷则把我们从圆的世界带到了界，因为它圆变成了和矩形。线的世当然，在任何有限的阶段，多边形仍然只是多边形，它们还不是圆，也永远不会变成圆。尽管它们越来越接近于圆，但它们绝不会成为真正的圆。我们在这里谈论的是淤无穷，而不是实无穷。所以，从逻辑严密性的角度看，一切都无懈可击。但如果多边形的边数不断逼近实无穷，会怎么样?最终得到的边人大大和和这种想法师具吸引力，因为到那时多边形会变得光滑，它的所有角都被磨平了，看上去一切皆完美。无家的魅力和危险有这样一个普遍经验:极限通常比逼近它们的近似值简单。圆比所有接近它的多边形〈有很多突起)都

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更简单，也更优美。同样地，在比萨证明中，极限矩形比有和荷叶边的形状〈有难看的隆起和尖点)更简单，也更优雅。对分数1/3来说亦如此，它比所有吉近它的演拙分数都更简单，也更悦目，因为后者的分子和分母大而丑陋，比如3/10、33/100和3337/1000。在所有这些例子中，极限形状或极限数字都比其有限的近似物更简单，也更具对称性。这就是无穷的魅力，在无穷远处，一切都变得更好了。知道了这个经验之后，我们再回过头看无穷多边形的例子。我们是否可以孤注一掷地说，圆就是一个有无穷多条无穷短边的多边形呢?不，我们绝对不能这样做，也绝对不能届服于这种诱惑，否则就会犯下

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实无穷的错误，并被推入逻辑的地狱。为了说明原因，假设我们和暂时接受了这个想法，即圆确实是一个边长无限短的无穷多边形。那么，这些边究竟有多长呢?长度为0吗?如果是这样，无穷乘以0(所有边的长度之和)就一定等于圆的周长。但假设现在又出现一个周长加倍的圆，那么无穷乘以0也必定等于这个更大的周长。于是，无穷乘以0既等于前一个圆的周长，又等于后一个避的周长。这简直是胡说八道!既然我们找不到定义无穷乘以0的一臻性方法，将圆视为无和多边形的观点也就站不住脚了。尽管如此，这种直觉还是有些许吸引力的。的且徘一样，微积分的原徘一一把圆看作边长无穷短的无八多边形的诱

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